1. Jeden dělník potřebuje na určitou práci 40 hodin, druhý by tuto práci provedl již za 30 hodin. Několik hodin pracovali společně, potom byl druhý dělník odvolán a první dokončil práci sám za 5 hodin. Kolik hodin pracovali společně a jakou část práce každý z nich vykonal?
|
|
každý sám | za 1 hodinu | za x hodin |
|---|---|---|---|
| 1. dělník | 40 hodin | $\frac{1}{40}$
|
$\frac{x+5}{40}$
|
| 2. dělník | 30 hodin | $\frac{1}{30}$
|
$\frac{x}{30}$
|
| celkem |
|
|
1 |
$\frac{x+5}{40} + \frac{x}{30} = 1/*120$
$3(x+5)+4x=120$
$3x + 15 + 4x = 120$
$7x = 105$
$x = 15$
Dělníci pracovali společně 15 hodin. První vykonal $\frac{20}{40}$ to je $\frac{1}{2}$ práce a druhý vykonal $\frac{15}{30}$ to je také $\frac{1}{2}$ práce.
2. První dělník by sám splnil úkol za 8 hodin, druhý za 6 hodin. Po dvou hodinách společné práce odešel první dělník k lékaři a druhý práci dokončil sám. Kolik hodin pracoval druhý dělník sám?
|
|
každý sám | za 1 hodinu | za x hodin |
|---|---|---|---|
| 1. dělník | 8 hodin | $\frac{1}{8}$
|
$\frac{2}{8}$
|
| 2. dělník | 6 hodin | $\frac{1}{6}$
|
$\frac{2+x}{6}$
|
| celkem |
|
|
1 |
$\frac{2}{8} + \frac{2+x}{6} = 1/*24$
$6+4(2+x)=24$
$6 + 8 + 4x = 24$
$4x = 10$
$x = 2,5$
Druhý dělník pracoval sám 2,5 hodiny.
3. Dva dělníci společně vykonají určitou práci za 10 dní. První dělník by ji vykonal sám za 20 dní. Za kolik dní by ji vykonal sám druhý dělník?
|
|
každý sám | za 1 hodinu | za 10 hodin |
|---|---|---|---|
| 1. dělník | 20 hodin | $\frac{1}{20}$
|
$\frac{10}{20}$
|
| 2. dělník | x hodin | $\frac{1}{x}$
|
$\frac{10}{x}$
|
| celkem |
|
|
1 |
$\frac{10}{20} + \frac{10}{x} = 1/*20x$
$10x+200=20x$
$10x = 200$
$x = 20$
Druhý dělník vykoná práci sám také za 20 hodin.
4. Dělník A by splnil daný úkol za 12 hodin, dělník B za 10 hodin. Protože práce měla být hotová za 4 hodiny, museli přibrat ještě dělníka C. Za kolik hodin by splnil daný úkol jen dělník C?
|
|
každý sám | za 1 hodinu | za 4 hodiny |
|---|---|---|---|
| 1. dělník | 12 hodin | $\frac{1}{12}$
|
$\frac{4}{12}$
|
| 2. dělník | 10 hodin | $\frac{1}{10}$
|
$\frac{4}{10}$
|
| 3. dělník | x hodin | $\frac{1}{x}$ | $\frac{4}{x}$ |
| celkem |
|
|
1 |
$\frac{4}{12} + \frac{4}{10} + \frac{4}{x}= 1/*60x$
$20x + 24x + 240=60x$
$16x = 240$
$x = 15$
Třetí dělník by vykonal práci sám za 15 hodin.
5. Plný rybník se vyprázdní prvním stavidlem za 45 dní. Mají-li se vypustit 2/3 rybníka za 15 dní, je třeba ještě na 10 dní druhé stavidlo. Za kolik dní by se vyprázdnil rybník jen druhým stavidlem?
|
|
samostatně | za 1 den | za celou dobu |
|---|---|---|---|
| 1. stavidlo | 45 dní | $\frac{1}{45}$
|
$\frac{15}{45}$
|
| 2. stavidlo | x dní | $\frac{1}{x}$
|
$\frac{10}{x}$
|
| celkem |
|
|
$\frac{2}{3}$
|
$\frac{15}{45} + \frac{10}{x} = \frac{2}{3}/*45x$
$15x + 450 =30x$
$15x = 450$
$x = 30$
Druhým stavidlem by se rybník vypustil za 30 dní.
6. Malíř rozplánoval svou práci v domě na 12 dní. Po 4 1/3 dne mu přišel na pomoc druhý malíř a pracovali pak oba společně, takže bylo vymalováno za 8 dní. Za kolik dní by práci vykonal druhý malíř sám?
|
|
samostatně | za 1 den | za 8 dní |
|---|---|---|---|
| 1. malíř | 12 dní | $\frac{1}{12}$
|
$\frac{8}{12}$
|
| 2. malíř | x dní | $\frac{1}{x}$
|
$\frac{8-4\frac{1}{3}}{x}$
|
| celkem |
|
|
$1$
|
$\frac{8}{12} + \frac{8-4\frac{1}{3}}{x} =1/*12x$
$8x + 44 =12x$
$4x = 44$
$x = 11$
Druhý malíř by sá vymaloval za 11 dní.
7. V dílně mají vyrobit 265 stejných součástek. Dělník A zhotoví jednu součástku za hodinu, druhý za 50 minut, dělník C za 45 minut. Za kolik hodin splní úkol, budou-li pracovat společně?
|
|
samostatně | za 1 minutu | za x minut |
|---|---|---|---|
| 1. dělník | 60 minut | $\frac{1}{60}$
|
$\frac{x}{60}$
|
| 2. dělník | 50 minut | $\frac{1}{50}$
|
$\frac{x}{50}$
|
| 3. dělník | 45 minut | $\frac{1}{45}$ | $\frac{x}{45}$ |
| celkem |
|
|
265 |
$\frac{x}{60} + \frac{x}{50} + \frac{x}{45}= 265/*900$
$15x + 18x + 20x =238500$
$53x = 238500$
$x = 4500$
Dělníci vyrobí 265 součástek za 4500 minut, tj. 75 hodin.
8. Jeden dělník vyrobí za hodinu 15 součástek, druhý 12 a třetí 10. Kolik hodin pracoval každý z nich, když dohromady pracovali 15 hodin a každý vyrobil stejný počet součástek?
$15x = 12y = 10z$
$x + y + z =15$
$x = \frac{12y}{15} $
$z = \frac{12y}{10} $
$\frac{12y}{15} + y + \frac{12y}{10} =15/*30$
$24y + 30y + 36y = 450$
$90y = 450$
$y = 5$
$x = 4$
$z = 6$
První dělník pracoval 4 hodiny, druhý 5 hodin a třetí 6 hodin.
9. Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude splněna zakázka, jestliže první dva dny na ní pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?
|
|
samostatně | za 1 den | za x dní |
|---|---|---|---|
| 1. závod | 12 dní | $\frac{1}{12}$
|
$\frac{x+2}{12}$
|
| 2. závod | 18 dní | $\frac{1}{18}$
|
$\frac{x}{18}$
|
| celkem |
|
|
$1$ |
$\frac{x+2}{12} + \frac{x}{18} = $1/*36$
$3(x+2) + 2x =36$
$3x + 6 + 2x = 36$
$5x = 30$
$x = 6$
Druhý závod bude pracovat 6 dní, celá zakázka bude hotová za 8 dní.