# Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek využíváme při hledání společného jmenovatele a při řešení slovních úloh, kde se například řeší stavba čtverce či obdélníku (krychle či kvádru) z různě velkých bloků; anebo úlohy kde, se hledá, kdy se znovu setkají vozidla, jež vyrážela ve stejný okamžik, a každému z nich objetí celé trasy zabere jinou dobu a podobně.

### Příklad výpočtu nejmenšího společného násobku

#### 1. Určete nejmenší společný násobek čísel 60 a 45.

$\large n(60, 45)$

 $\Huge 60$ $\Huge 45$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 30$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 15$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 15$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 5$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 5$

#### Vypíšeme prvočísla z rozkladů. Prvočísla jsou ta čísla, která již nemají žádného dalšího dělitele (jsou na konci "ocásků" a za nimi už není další šipka).

$\large 60=2 \times 2 \times 3 \times 5$
$\large 45=3 \times 3 \times 5$

#### Určíme nejmenší násobek tak, že postupně vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z obou rozkladů.

V rozkladech jsou dvojky, trojky a pětky. Číslo 2 je nejvíce 2x, číslo 3 je také 2x a číslo 5 1x.

$\large n(60, 45)=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 5= 180$

#### 2. Určete nejmenší společný násobek čísel 54 a 90.

$\large n(54, 90)$

 $\Huge 54$ $\Huge 90$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 27$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 45$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 9$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 15$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 3$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 5$

#### Vypíšeme prvočísla z rozkladů. Prvočísla jsou ta čísla, která již nemají žádného dalšího dělitele.

$\large 54=2 \times 3 \times 3 \times 3$
$\large 90=2 \times 3 \times 3 \times 5$

#### Určíme nejmenší násobek tak, že postupně vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z obou rozkladů.

V rozkladech jsou dvojky, trojky a pětky. Číslo 2 je nejvíce 1x, číslo 3 je 3x a číslo 5 1x.

$\large n(54, 90)=2\times 3 \times 3 \times 3 \times 5= 270$

### Příklady na určení nejmenšího společného násobku s řešením

$\large n(42, 56)$

 $\Huge 42$ $\Huge 56$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 21$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 28$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 7$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 14$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 7$

$\large 42=2 \times 3 \times 7$

$\large 56=2 \times 2 \times 2 \times 7$

$\large n(42, 56)=2\times 2 \times 2 \times 3 \times 7= 168$

$\large n(84, 126)$

 $\Huge 84$ $\Huge 126$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 42$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 63$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 21$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 21$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 7$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 7$

$\large 84=2 \times 2 \times 3 \times 7$

$\large 126=2 \times 3 \times 3 \times 7$

$\large n(84, 126)=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 7= 252$

$\large n(30, 45)$

 $\Huge 30$ $\Huge 45$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 15$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 15$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 5$ $\huge 3$ $\times$ $\huge 5$

$\large 30=2 \times 3 \times 5$

$\large 45=3 \times 3 \times 5$

$\large n(30, 45)=2\times 3 \times 3 \times 5= 90$

$\large n(48, 80)$

 $\Huge 48$ $\Huge 80$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 24$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 40$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 12$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 20$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 6$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 10$ $\large \swarrow$ $\large\searrow$ $\large\swarrow$ $\large\searrow$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 3$ $\huge 2$ $\times$ $\huge 5$

$\large 48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

$\large 80=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5$

$\large n(48, 80)=2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5= 240$