Kvadratické nerovnice

Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice, kterou můžeme ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů:

$ax^{2} + bx + c > 0$

$ax^{2} + bx + c \geq 0$

$ax^{2} + bx + c < 0$

$ax^{2} + bx + c \leq 0,$

$kde\: a, b, c \: \epsilon\: \mathbb{R}, a\neq 0$

Početní řešení kvadratický nerovnic

Postup řešení:

1. nerovnici převedeme na anulovaný tvar
2. najdeme kořeny odpovídající kvadratické rovnice

• $D \, > \,0\rightarrow x_{1},x_{2} \rightarrow$ kvadratický trojčlen rozložíme na součin lineárních členů a řešíme nerovnici v součinovém tvaru`
• $D \, = \,0 \rightarrow x \rightarrow$ nerovnice má jedno řešení, nekonečně mnoho nebo žádné`
• $D \,< \,0 \rightarrow$ nerovnice nemá řešení nebo jich má nekonečně mnoho; dosadíme libovolné číslo a dle pravdivosti nerovnice rozhodneme o řešení.

Nerovnice v součinovém tvaru

$A \times B > 0 \Leftrightarrow \left ( A> 0 \wedge B >0 \right) \vee \left ( A< 0 \wedge B <0 \right)$

$A \times B \geq 0 \Leftrightarrow \left ( A \geq 0 \wedge B \geq 0 \right) \vee \left ( A \leq 0 \wedge B \leq 0 \right)$

$A \times B < 0 \Leftrightarrow \left ( A> 0 \wedge B < 0 \right) \vee \left ( A< 0 \wedge B > 0 \right)$

$A \times B \leq 0 \Leftrightarrow \left ( A \geq 0 \wedge B \leq 0 \right) \vee \left ( A \leq 0 \wedge B \geq 0 \right)$

---

V R řešte nerovnici $7x^{2}+19x-6\leq 0$

Dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratických rovnic a vypočteme kořeny kvadratické rovnice:

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-19\pm \sqrt{19^{2}-4 \times 7 \times (-6)}}{2 \times 7}$

$x_{1,2}= \frac{-19\pm \sqrt{361+168}}{14}$

$x_{1,2}= \frac{-19 \pm 23}{14}$

$x_{1}= \frac{2}{7}$

$x_{2}= -3$

Dosadíme kořeny kvadratické rovnice:

$a \left ( x-x_{1} \right ) \left ( x-x_{2} \right ) \leq 0$

$7 \left ( x-\frac{2}{7} \right ) \left ( x+3 \right ) \leq 0$

Jestliže má být nerovnice menší nebo rovna nule, musí být první činitel menší nebo roven nule a druhý činitel větší nebo roven nule a obráceně čili abychom získali záporný výsledek (menší než nula) musí být jeden činitel kladný a druhý záporný. Jestliže by v zadání byla nerovnice větší než nula, museli by činitelé být oba kladní nebo oba záporní.

$\left ( x-\frac{2}{7} \right ) \left ( x+3 \right ) \leq 0$

$\left ( x-\frac{2}{7} \geq 0 \wedge x+3 \leq 0 \right) \vee \left ( x-\frac{2}{7} \leq 0 \wedge x+3 \geq 0 \right)$

$K_{1}$ má být větší nebo rovno než $\frac{2}{7}$ a zároveň menší nebo rovno než -3 a $K_{2}$ má být menší nebo rovno než $\frac{2}{7}$ a zároveň větší nebo rovno než -3.

$\left ( x \geq \frac{2}{7} \wedge x \leq -3 \right) \vee \left ( x \leq \frac{2}{7} \wedge x \geq -3 \right)$

Výsledkem nerovnice je sjednocení $K_{1}$ a $K_{2}$.

$K_{1}=\varnothing$

$K_{2}=\left \langle -3; \frac{2}{7} \right \rangle$

$K = K_{1} \cup K_{2}$

$K=\left \langle -3;\frac{2}{7} \right \rangle$